高数笔记：有理函数积分
有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数,其一般形式为
\[ \begin{equation} R\left( x \right) =\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=\frac{\alpha _0x^n+\alpha _1x^{n-1}+\cdots +\alpha _n}{\beta _0x^m+\beta _1x^{m-1}+\cdots +\beta _m} \label{eq:rational} \end{equation} \]
其中\(n,m\)为非负整数，\(\alpha _0,a_1,\dots ,\alpha _n\)与\(\beta _0,\beta _1,\dots ,\beta _n\)都是常数，且\(\alpha _0\ne 0,\beta _0\ne 0\)。若\(m>n\)，则称它为真分式；若\(m<n\)，则称它为假分式。由多项式的除法可知：假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分；故设\(\eqref{eq:rational}\)为一有理真分式。
根据代数知识，如果多项式\(Q_1\left( x\right)\)与\(Q_2\left( x\right)\)是互素的，即\(\left( Q_1\left( x\right), Q_2\left( x\right)\right) = 1\)，则存在多项式\(P_1\left( x\right)\)与\(P_2\left( x\right)\)，使得$ P_1( x ) Q_1( x ) +P_2( x ) Q_2( x ) =1 $。于是
\[ \frac{1}{Q_1\left( x \right) Q_2\left( x \right)}=\frac{P_1\left( x \right) Q_1\left( x \right) +P_2\left( x \right) Q_2\left( x \right)}{Q_1\left( x \right) Q_2\left( x \right)}=\frac{P_1\left( x \right)}{Q_2\left( x \right)}+\frac{P_2\left( x \right)}{Q_1\left( x \right)} \]
因此，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和（称为部分分式分解）。因而问题归结为求那些部分分式的不定积分。为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下（可与后面的例1对照着做）：
第一步：对分母\(Q\left( x\right)\)（要求\(\beta_0=1\)）在实系数内作标准分解：
\[ \begin{equation} Q\left( x \right) =\left( x-a_1 \right) ^{\lambda _1}\cdot \cdots \cdot \left( x-a_s \right) ^{\lambda _s}\left( x^2+p_1x+q_1 \right) ^{\mu _1}\left( x^2+p_tx+q_t \right) ^{\mu _t} \label{eq:factor} \end{equation} \]
其中\(\lambda_i,\mu_j\in \mathbb{N}\;\\;\sum_{i=1}^s{\lambda_i}+2\sum_{j=1}^t{\mu_j}=m\;\\;p_{j}^{2}-4q_j<0,\quad i=1,2,\dots ,s\;\\;j=1,2,\dots ,t\)。
第二步：根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如\(\left(x-a\right)^k\)的因式，它所对应的部分分式是
\[ \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{\left( x-a \right) ^2}+\cdots +\frac{A_k}{\left( x-a \right) ^k}\; \]
对每个形如\(\left(x^2+px+q\right)^k\)’的因式，它所对应的部分分式是
\[ \frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\frac{B_2x+C_2}{\left( x^2+px+q \right) ^2}+\cdots +\frac{B_kx+C_k}{\left( x^2+px+q \right) ^k} \]
把所有部分分式加起来，使之等于\(R\left(x\right)\)。至此，部分分式中的常数系数\(A_i,B_i,C_i\)尚为待定的。
第三步：确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母\(Q\left( x\right)\)，而其分子亦应与原分子\(P\left( x\right)\)恒等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数。
例1 对\(R\left( x \right) =\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8}\)作部分分式分解。
解：按上述步骤依次执行如下：
\[ \begin{aligned} Q\left( x \right) &= x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8 \\ &= \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) ^2\left( x^2-x+1 \right) . \end{aligned} \]
部分分式分解的待定形式为
\[ \begin{equation} R\left( x \right) =\frac{A_0}{x-2}+\frac{A_1}{x+2}+\frac{A_2}{\left( x+2 \right) ^2}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}. \label{eq:exp01rx} \end{equation} \]
用\(Q\left( x\right)\)乘上式两侧，得一恒等式
\[ \begin{equation} \begin{aligned} 2x^4-x^3+4x^2+9x-10 \equiv &A_0\left( x+2 \right) ^2\left( x^2-x+1 \right) + \\ &A_1\left( x-2 \right) \left( x+2 \right) \left( x^2-x+1 \right) + \\ &A_1\left( x-2 \right) \left( x^2-x+1 \right) + \\ &\left( Bx+C \right) \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) ^2 \end{aligned} \label{eq:exp01eq} \end{equation} \]
然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：
\[ \begin{cases} \begin{array}{r} A_0& +A_1& & +B& & =& 2 \\ 3A_0& -A_1& +A_2& +2B& +C& =& -1 \\ A_0& -3A_1& -3A_2& -4B& +2C& =& 4 \\ & 4A_1& +3A_2& -8B& -4C& =& 9 \\ 4A_0& -4A_1& -2A_2& & -8C& =& -10 \\ \end{array} \end{cases} \]
求出它的解：\(A_0=1,A_1=2,A_2=-1,B=-1,C=1\)，并代入\(\eqref{eq:exp01rx}\)式，这便完成了对\(R\left(x\right)\)的部分分式分解：
\[ R\left( x \right) =\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}-\frac{1}{\left( x+2 \right) ^2}-\frac{x-1}{x^2-x+1}. \]
待定系数法的替代方法
上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代。例如可将\(x\)的某些特定值（如\(Q\left(x\right)=0\)的根）代入\(\eqref{eq:exp01eq}\)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用\(x=2\)和\(x=-2\)代入\(\eqref{eq:exp01eq}\)式，立即求得
\[ A_0=1, A_2=-1. \]
于是\(\eqref{eq:exp01eq}\)式简化成为
\[ \begin{aligned} x^4-3x^3+12x-16 = &A_1\left( x-2 \right) \left( x+2 \right) \left( x^2-x+1 \right) + \\ &\left( Bx+C \right) \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) ^2. \end{aligned} \]
为继续求得\(A_1,B,C\)，还可用\(x\)的三个简单值代人上式，如令\(x=0,1,-1\)，相应得到
\[ \begin{cases} \begin{array}{r} A_1& & +2C& =& 4 \\ A_1& +3B& +3C& =& 2 \\ 3A_1& -B& +C& =& 8 \\ \end{array} \end{cases} \]
由此易得\(A_1=2,B=-1,C=1\)。这就同样确定了所有待定系数。
一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分。由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：
- \[\int{\frac{\mathrm{d}x}{\left( x-a \right) ^k}}; \tag{A}\label{eq:int1}\]
- \[\int{\frac{Lx+M}{\left( x^2+px+q \right) ^k}}\mathrm{d}x. \tag{B}\label{eq:int2}\]
对于\(\eqref{eq:int1}\)，已知
\[ \int{\frac{\mathrm{d}x}{\left( x-a \right) ^k}}=\begin{cases} \ln \left| x-a \right|+C,& k=1,\\ \frac{1}{\left( 1-k \right) \left( x-a \right) ^{k-1}}+C,& k>1.\\ \end{cases} \]
对于\(\eqref{eq:int2}\)，只要作适当换元（令\(t=x+\frac{p}{2}\)），便化为
\[ \begin{equation} \begin{aligned} \int{\frac{Lx+M}{\left( x^2+px+q \right) ^k}}\mathrm{d}x&=\int{\frac{Lt+N}{\left( t^2+r^2 \right) ^k}\mathrm{d}t} \\ &=L\int{\frac{t\mathrm{d}t}{\left( t^2+r^2 \right) ^k}}+N\int{\frac{\mathrm{d}t}{\left( t^2+r^2 \right) ^k}}, \end{aligned} \label{eq:int2.1} \end{equation} \]
其中\(r^2=q-\frac{p^2}{4},N=M-\frac{p}{2} L\)。
当\(k=1\)时，\(\eqref{eq:int2.1}\)式右边两个不定积分分别为
\[ \begin{align} \int{\frac{t\mathrm{d}t}{t^2+r^2}}&=\frac{1}{2}\int{\frac{\mathrm{d}\left( t^2+r^2 \right)}{t^2+r^2}}=\frac{1}{2}\ln \left( t^2+r^2 \right) +C, \nonumber \\ \int{\frac{\mathrm{d}t}{t^2+r^2}}&=\frac{1}{r}\arctan \frac{t}{r}+C. \label{eq:int2.2} \end{align} \]
当\(k\geqslant 2\)时，\(\eqref{eq:int2.1}\)式右边第一个不定积分为
\[ \begin{aligned} \int{\frac{t\mathrm{d}t}{\left( t^2+r^2 \right) ^k}}&=\frac{1}{2}\int{\frac{\mathrm{d}\left( t^2+r^2 \right)}{\left( t^2+r^2 \right) ^k}} \\ &=\frac{1}{2\left( 1-k \right) \left( t^2+r^2 \right) ^{k-1}}+C \end{aligned} \]
对于第二个不定积分，记
\[ I_k=\int{\frac{\mathrm{d}t}{\left( t^2+r^2 \right) ^k}}, \]
可用分部积分法导出递推公式如下：
\[ \begin{aligned} I_k&=\frac{1}{r^2}\int{\frac{\left( t^2+r^2 \right) -t^2}{\left( t^2+r^2 \right) ^k}}\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{r^2}I_{k-1}-\frac{1}{r^2}\int{\frac{t^2\mathrm{d}t}{\left( t^2+r^2 \right) ^k}}\\ &=\frac{1}{r^2}I_{k-1}+\frac{1}{2r^2\left( k-1 \right)}\int{t}\mathrm{d}\left( \frac{1}{\left( t^2+r^2 \right) ^{k-1}} \right)\\ &=\frac{1}{r^2}I_{k-1}+\frac{1}{2r^2\left( k-1 \right)}\left[ \frac{t}{\left( t^2+r^2 \right) ^{k-1}}-I_{k-1} \right] .\\ \end{aligned} \]
经整理得到
\[ \begin{equation} I_{k}=\frac{t}{2 r^{2}(k-1)\left(t^{2}+r^{2}\right)^{k-1}}+\frac{2 k-3}{2 r^{2}(k-1)} I_{k-1} \label{eq:int2.3} \end{equation} \]
重复使用递推公式\(\eqref{eq:int2.3}\)，最终归为计算\(I_1\)，这已由\(\eqref{eq:int2.2}\)式给出。
把所有这些局部结果代回\(\eqref{eq:int2.1}\)式，并令\(t=x+\frac{p}{2}\)，就完成了对不定积分\(\eqref{eq:int2}\)的计算。
例2 求
\[ \int \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \mathrm{d} x. \]
解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为
\[ \begin{aligned} \frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} &=\frac{\left(x^{2}-2 x+2\right)+(2 x-1)}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}} \\ &=\frac{1}{x^{2}-2 x+2}+\frac{2 x-1}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}}. \end{aligned} \]
现分别计算部分分式的不定积分如下：
\[ \int{\frac{\mathrm{d}x}{x^2-2x+2}}=\int{\frac{\mathrm{d}\left( x-1 \right)}{(x-1)^2+1}}=\arctan{\left( x-1 \right)} +C_1. \]
\[ \begin{aligned} \int{\frac{2x-1}{\left( x^2-2x+2 \right) ^2}}\mathrm{d}x&=\int{\frac{\left( 2x-2 \right) +1}{\left( x^2-2x+2 \right) ^2}}\mathrm{d}x\\ &=\int{\frac{\mathrm{d}\left( x^2-2x+2 \right)}{\left( x^2-2x+2 \right) ^2}}+\int{\frac{\mathrm{d}\left( x-1 \right)}{\left[ (x-1)^2+1 \right] ^2}}\\ &=\frac{-1}{x^2-2x+2}+\int{\frac{\mathrm{d}t}{\left( t^2+1 \right) ^2}}. \end{aligned} \]
由递推公式\(\eqref{eq:int2.3}\)，求得其中
\[ \begin{aligned} \int{\frac{\mathrm{d}t}{\left( t^2+1 \right) ^2}}&=\frac{t}{2\left( t^2+1 \right)}+\frac{1}{2}\int{\frac{\mathrm{d}t}{t^2+1}}\\ &=\frac{x-1}{2\left( x^2-2x+2 \right)}+\frac{1}{2}\arctan{\left( x-1 \right)}+C_2. \end{aligned} \]
于是得到
\[ \int{\frac{x^2+1}{\left( x^2-2x+2 \right) ^2}\mathrm{d}x}=\frac{x-3}{2\left( x^2-2x+2 \right)}+\frac{3}{2}\arctan{\left( x-1 \right)}+C. \]